Con doce fichas se pueden hacer dos filas de seis, tres de cuatro o cuatro de tres. Con trece no hay manera: o una fila de trece o trece filas de una.
Eso es un número primo, y dicho con fichas encima de la mesa no hace falta ninguna definición. La definición viene después y solo pone nombre a lo que ya se ha visto. Repartir se practica en Divisiones con resto.
Con fichas y no con palabras
Veinte fichas y la pregunta de en cuántas filas iguales se pueden colocar. Después diecinueve, después dieciocho.
En un cuarto de hora aparece la distinción sola: unos números se dejan y otros no. Y los que no se dejan son los primos.
Ese cuarto de hora vale más que la definición leída, porque después la definición encaja encima de algo ya visto.
Cuándo se puede parar de probar
No hace falta probar todos los números. En cuanto un divisor multiplicado por sí mismo pasa del número, se acabó: si no ha salido nada, es primo.
Para 53 basta con probar hasta el 7, porque 8 × 8 son 64 y ya se ha pasado. Eso reduce el trabajo a la mitad.
Explicarlo con las parejas de divisores es lo que lo hace evidente: cada divisor pequeño trae uno grande, así que si no hay pequeños tampoco hay grandes.
Los criterios descartan de golpe
Ningún par mayor que dos es primo. Ninguno acabado en cinco salvo el cinco. Y si sus cifras suman múltiplo de tres, tampoco.
Con esos tres filtros, de treinta números quedan ocho por comprobar, y esos ocho se hacen deprisa.
Es el uso más práctico de los criterios de divisibilidad y conviene enseñarlos juntos.
El uno no es primo
Sorprende siempre. La razón, dicha en corto: un primo tiene exactamente dos divisores distintos, y el uno solo tiene uno.
No es una manía: si el uno fuera primo, se rompería la idea de que cada número se descompone en primos de una sola manera.
A los once años esa explicación se entiende, y deja la sensación de que las definiciones tienen motivos.
El dos es el único par
Y por eso es el raro de la familia. Todos los demás pares se pueden partir en dos montones iguales, así que ninguno más puede ser primo.
Decirlo permite descartar la mitad de los números de un plumazo, que es lo que hace la búsqueda manejable.
Y da una frase que se recuerda: el dos es el único primo par, y por eso es el más raro de todos.
La criba
Se escriben los números del 2 al 100 en una tabla, se tachan los múltiplos de dos, después los de tres, los de cinco y los de siete. Lo que queda son los primos.
Es un método de hace más de dos mil años y funciona igual de bien hoy. Contarlo así, con su antigüedad, gusta bastante.
Y es una actividad de media hora con un resultado que se puede colgar: la lista de los primos hasta cien, hecha a mano.
Descomponer en primos
Doce es 2 × 2 × 3. Y no hay otra manera de escribirlo como producto de primos, por mucho que se pruebe.
Esa unicidad es una propiedad grande de los números y se puede enseñar sin nombrarla: se descompone tres veces el mismo número por caminos distintos y siempre sale lo mismo.
Con eso, las fracciones se simplifican de una vez y sin adivinar.
Cuántos hay
Infinitos, y eso se sabe desde la Grecia antigua. Pero cada vez están más separados: entre 1 y 20 hay ocho, y entre 81 y 100 solo hay dos.
Contarlo por tramos y comparar es un ejercicio de conteo con un resultado que sorprende.
No hace falta demostrar nada: basta con mirar la tabla terminada y ver cómo se van espaciando.
Los gemelos
Hay parejas de primos que van seguidas con un número en medio: 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31. Se llaman gemelos y buscarlos en la lista terminada engancha bastante.
No hay nada que estudiar ahí: es solo mirar la lista propia y encontrar un patrón, que es una manera muy buena de acabar el tema.
Y da una pregunta que nadie sabe contestar todavía: si hay infinitos gemelos o no. Decir que hay preguntas de matemáticas sin resolver sorprende mucho a los once años.
Qué edad
Con fichas y números hasta el veinte, desde los nueve.
Con la lista hasta el sesenta y los criterios, a los diez.
Con la criba hasta cien y la descomposición, a los once o doce.
Antes de esto
Hacen falta los divisores: sin saber buscarlos, decidir si un número es primo es imposible.
Y hacen falta las tablas, porque la comprobación es dividir muchas veces.
Con esas dos cosas, el tema son dos semanas.
Los errores típicos
Contar el uno como primo.
Dar por primo un número sin haber probado el tres, que es el filtro que más se salta.
Y probar hasta el final en vez de parar cuando el divisor por sí mismo se pasa.
Para qué sirven fuera
Para simplificar fracciones y para el mínimo común múltiplo, que son sus dos usos escolares.
Y fuera del colegio, para algo que a los once años impresiona: casi toda la seguridad de internet se apoya en que multiplicar dos primos enormes es fácil y deshacerlo es lentísimo.
Contarlo en dos frases da al tema una razón de existir que ninguna hoja da.
Un juego rápido
Se dice un número de dos cifras y hay que contestar «primo» o «no primo» en cinco segundos, diciendo el divisor si no lo es.
Obliga a aplicar los criterios en vez de dividir, que es exactamente lo que se quiere.
Y se juega por turnos, con el adulto contestando también y fallando de vez en cuando.
Cuánto por sesión
Treinta números por hoja parecen muchos y se hacen en quince minutos con los criterios puestos.
Lo que hay que exigir es el divisor de los que no son primos: sin él, la respuesta puede ser suerte.
Cuando el filtro se aplique solo, se pasa a la criba y a descomponer.
Antes y después de esto
La búsqueda de divisores en la que esto se apoya está en los números que se reparten. Y los filtros que hacen la búsqueda rápida, en saberlo sin hacer la cuenta.
Cómo practicarlo jugando
Divisiones con resto entrena ver cuándo un reparto sale exacto.
Tablas de multiplicar asegura las comprobaciones y Mayor, menor o igual el manejo de los números.
Qué imprimir
Los números primos trae noventa números para separar, con el divisor que delata a cada uno en las soluciones.
Para los divisores, Los divisores de un número. Y para los filtros, Los criterios de divisibilidad.
Lo esencial
- Con trece fichas no hay manera de hacer filas iguales: eso es un primo.
- Se para de probar cuando el divisor por sí mismo pasa del número.
- Los criterios de divisibilidad descartan de golpe dos tercios de los candidatos.
- El uno no es primo porque solo tiene un divisor, y el dos es el único primo par.
- Al corregir hay que exigir el divisor de los que no lo son: si no, puede ser suerte.
