Saber si 342 se puede dividir entre tres sin hacer ni una división parece un truco de magia y es una regla de tres palabras: si sus cifras suman múltiplo de tres, sí.
Son cuatro reglas, todas se aplican mirando y todas ahorran trabajo de verdad. Comprobar si un reparto sale exacto se practica en Divisiones con resto.
Las tres fáciles
Entre dos, si acaba en cifra par. Entre cinco, si acaba en cero o en cinco. Entre diez, si acaba en cero.
Las tres se deciden mirando la última cifra y nada más, así que se aplican a un número de seis cifras igual de rápido que a uno de dos.
Conviene darlas juntas el primer día: son evidentes en cuanto se miran unos cuantos ejemplos y no necesitan justificación.
La del tres es la que sorprende
Se suman las cifras y se mira si el resultado es múltiplo de tres. 342 da nueve, así que sí. 517 da trece, así que no.
Y si la suma todavía es grande, se vuelven a sumar sus cifras: con 987 sale 24, y con 24 sale 6. Funciona igual.
Comprobarlo con la calculadora dos o tres veces es lo que hace que se crea, porque parece imposible que funcione.
Por qué funciona la del tres
No hace falta demostrarla, pero sí decir que tiene una razón y no es magia: cada diez deja resto uno al dividir entre tres, cada cien también, y por eso al final solo cuentan las cifras.
A los once años esa explicación se puede dar en dos frases y deja la sensación de que las reglas se pueden entender.
Y explica por qué la misma regla vale para el nueve, cambiando tres por nueve.
Para qué sirven
Para simplificar fracciones sin ir probando: con 24/36 se ve de un vistazo que los dos se dividen entre dos y entre tres.
Para saber si un reparto va a salir exacto antes de empezar a repartir, que es la pregunta real cuando hay veintitrés caramelos y cuatro niños.
Y para buscar divisores y primos, donde descartan de golpe la mayoría de los candidatos.
El del cuatro y el del seis
Entre cuatro si las dos últimas cifras forman un múltiplo de cuatro. Entre seis si se puede entre dos y entre tres a la vez.
El del seis es el más útil de los dos porque no hay que aprender nada nuevo: se combinan dos reglas ya sabidas.
Y es la primera vez que aparece la idea de que dos condiciones juntas dan una tercera, que es la misma de los dos círculos.
No dicen el resultado
Un criterio dice si se puede dividir, no cuánto da. Es información sobre la operación, no la operación.
Distinguir eso importa: hay niños que aplican el criterio y escriben el número que sumaron como si fuera el cociente.
La frase que lo aclara: el criterio contesta sí o no, y después hay que hacer la división igual si quieres el resultado.
Con la calculadora
La manera de que se crean las reglas es comprobarlas: se aplica el criterio, se dice sí o no, y después se comprueba.
Diez comprobaciones seguidas sin fallo convencen a cualquiera, y de paso enseñan a usar la calculadora para verificar y no para calcular.
Ese uso —comprobar lo que ya has decidido— es el único que conviene a esta edad.
Buscar en un tique
Los números de un tique, de una matrícula o de un dorsal sirven igual de bien que los de una hoja, y encima son gratis.
«¿Este número se puede dividir entre tres?» es una pregunta que se puede hacer en cualquier cola.
Y como el número no está preparado, la respuesta no se puede adivinar.
Ninguna regla para el siete
Existe una para el siete pero es más larga que la propia división, así que en primaria no compensa y conviene decirlo.
Saber que no todas las reglas son útiles es un criterio bueno: una regla vale la pena solo si es más rápida que hacer la cuenta.
Y quita la sensación de que se está ocultando algo cuando la lista se queda en cuatro criterios.
El del nueve
Funciona igual que el del tres pero con nueve: se suman las cifras y se mira si el resultado es múltiplo de nueve.
Y tiene un premio: si un número se puede dividir entre nueve, también se puede entre tres, porque nueve es tres por tres.
Enseñar las dos juntas es más económico que enseñarlas separadas, y hace ver que las reglas están relacionadas entre sí.
Qué edad
Entre dos, cinco y diez, desde los nueve.
Entre tres, a los diez.
Combinados y con el del cuatro y el del seis, a los once o doce.
Antes de esto
Hace falta saber qué es un múltiplo y tener las tablas del dos, del tres y del cinco.
Y hace falta sumar cifras de cabeza, que para la regla del tres es todo el trabajo.
Con esas dos cosas, las cuatro reglas se aprenden en dos sesiones.
Los errores típicos
Aplicar la regla del tres mirando la última cifra en vez de sumando todas.
Creer que si se puede dividir entre dos y entre cuatro, se puede entre ocho, que no siempre es verdad.
Y dar la suma de las cifras como resultado de la división.
En una tabla
Una hoja con una columna por criterio y una fila por número, con casillas para marcar, obliga a aplicar los cuatro a cada número.
Y deja ver de un vistazo cuáles se pueden dividir por muchos y cuáles por ninguno, que es una manera visual de ver los primos.
Al terminar se puede preguntar cuál es el número con más marcas, que suele ser un múltiplo de treinta.
Para qué sirve después
Para las fracciones de secundaria, para la descomposición en factores y para el mínimo común múltiplo.
Y para algo que dura más: la costumbre de mirar un número antes de operar con él, en vez de lanzarse a calcular.
Esa pausa de dos segundos es lo que separa a quien calcula de quien piensa.
Cuánto por sesión
Doce números y las cuatro columnas, quince minutos.
Y una comprobación con calculadora de tres de ellos, elegidos por el niño.
Cuando los cuatro criterios salgan sin mirar la nota, el tema está hecho.
Antes y después de esto
Los primos, que se encuentran con estos filtros, están en trece no se reparte. Y otro sitio donde descartar deprisa lo decide todo, en el sudoku con pocas pistas.
Cómo practicarlo jugando
Divisiones con resto muestra qué pasa cuando el criterio dice que no.
Resuelve la operación mantiene la división y Compara las operaciones la costumbre de mirar antes de calcular.
Qué imprimir
Los criterios de divisibilidad trae treinta y seis números con las cuatro columnas para marcar, con soluciones.
Para los divisores, Los divisores de un número. Y para los primos, Los números primos.
Lo esencial
- Entre 2, 5 y 10 se decide mirando la última cifra.
- Entre 3 se decide sumando todas las cifras, y si la suma es grande se vuelve a sumar.
- Un criterio dice si se puede dividir, no cuánto da.
- Entre 6 se puede si se puede entre 2 y entre 3 a la vez: dos condiciones dan una tercera.
- Su uso real es simplificar fracciones y descartar candidatos al buscar divisores.
