Sumar todo y dividir entre cuántos hay. La fórmula cabe en una línea y se aplica sin entender nada, que es exactamente lo que suele pasar.
Con cuatro montones de caramelos desiguales delante y la orden de dejarlos iguales, la media se ve en un minuto: es lo que le toca a cada uno después de repartir. Lo demás es la división, que se practica en Resuelve la operación.
El reparto de verdad
Montones de 3, 7, 2 y 8 caramelos. Se juntan los veinte, se reparten entre cuatro, y salen cinco en cada uno.
Hacerlo con las manos antes de escribir nada es lo que instala la idea. La cuenta viene después y ya se sabe qué está calculando.
Y aparece sola la propiedad más importante: la media está entre el más pequeño y el más grande, siempre.
Ni el mayor ni el menor
Si sale una media mayor que el número más grande o menor que el más pequeño, la cuenta está mal. No hay excepciones.
Es la comprobación más útil del tema y ocupa dos segundos.
Enseñarla junto con la fórmula, y no después, evita que se instalen resultados absurdos.
Dividir entre cuántos, no entre cuatro
El error más frecuente es sumar bien y dividir entre un número que no es la cantidad de datos.
Contar los datos y escribir el número antes de sumar lo evita: primero cuántos, después la suma.
Con datos en una tabla es aún más fácil equivocarse, porque hay que contar filas y no números sueltos.
Cuando no da exacto
La media de 3 y 4 es 3,5, y no hay ningún niño con medio caramelo. Ahí la media deja de ser un reparto posible y pasa a ser un número que resume.
Decirlo así, en vez de esquivarlo, es lo que hace entender para qué sirve: la media de hijos por familia es 1,3 y nadie tiene tres décimas de hijo.
Y quita la sensación de que el resultado está mal por no ser entero.
Para qué sirve
Para comparar dos grupos de tamaños distintos. Sin la media no se puede decir si una clase de veinte va mejor que una de treinta.
Es su único uso real y merece decirse: la media existe para poder comparar cosas que no se pueden comparar directamente.
Con esa frase, todos los ejercicios tienen un motivo.
Cuatro personas con 1 euro y una con 1000: la media es 200 y no describe a nadie.
Contarlo a los diez años es perfectamente posible y es la conversación más valiosa del tema.
Enseña que un número que resume siempre esconde algo, y eso vale para muchas cosas además de las matemáticas.
Es el ejemplo que más interesa, porque tiene consecuencias. Y da pie a una pregunta buena: qué hace falta en el último examen para llegar a una media concreta.
Ese problema es la media al revés y es bastante más difícil que la media directa.
Se resuelve pensando en el total: si quiero media 7 con cinco notas, necesito 35 puntos en total, y de ahí sale lo que falta.
El truco del total
Convertir la media en un total es lo que resuelve todos los problemas difíciles del tema.
Media por cantidad da el total; y con el total se puede sumar, restar y volver a repartir.
Enseñarlo como una equivalencia en las dos direcciones, y no solo en una, abre la mitad de los ejercicios de secundaria.
Con datos de casa
Cuántas horas de sueño esta semana, cuántas páginas leídas cada día, cuántos minutos de trayecto.
Los datos propios enganchan mucho más que los inventados, y de paso el niño lleva un registro, que es otra cosa que aprender.
Siete días de datos y una media al final: es un proyecto de una semana con quince segundos al día.
Con tres datos basta
No hacen falta series largas para entender la idea. Tres números y un reparto con las manos enseñan más que una tabla de veinte.
Las series largas vienen después, cuando lo que se practica es la suma y no el concepto.
Separar las dos cosas evita que el tema se convierta en una hoja de sumas disfrazada.
Si un dato cambia
Subir un solo dato sube la media, y ver cuánto es un ejercicio precioso: si hay cinco datos, subir uno en diez sube la media en dos.
Ese reparto del cambio explica por qué la media se mueve poco cuando hay muchos datos.
Y a los once años se puede llegar solo, probando con los caramelos delante.
Qué edad
El reparto con objetos, desde los ocho, en cuanto la división está.
La media con resultado entero y la comprobación del rango, a los nueve.
La media con decimales, la media al revés y el caso que engaña, a los diez u once.
Antes de esto
Hace falta la división, y hace falta entenderla como reparto y no solo como algoritmo.
Si la división es un procedimiento sin significado, la media será una fórmula sin significado.
Vale la pena volver al reparto con objetos aunque el niño ya divida por escrito.
Los errores típicos
Dividir entre un número que no es la cantidad de datos.
Dar una media fuera del rango de los datos y no notarlo.
Y creer que la media de dos medias es la media del total, que solo es cierto si los grupos son iguales.
Si una clase de diez saca 8 y otra de treinta saca 6, la media conjunta no es 7.
Es el error más elegante del tema y merece plantearse a los once años, con los totales delante.
Se resuelve con el truco del total: 80 más 180 son 260 entre cuarenta, 6,5.
Otras maneras de resumir
El valor que más se repite y el que queda en medio al ordenar también resumen un grupo, y a veces mejor que la media.
Nombrarlos de pasada, sin fórmulas, prepara para secundaria y explica por qué existe más de una.
Y con el ejemplo de los mil euros se ve por qué a veces conviene el del medio.
Cuánto por sesión
Cuatro medias, quince minutos. Es cálculo y cansa.
Mejor una con objetos, dos de tabla y una al revés, para que no sea siempre la misma operación.
Y una serie de datos propios en marcha, que ocupa medio minuto al día durante una semana.
Antes y después de esto
El reparto que hay debajo está en la división en caja. Y de dónde salen los datos que se promedian, en la tabla de doble entrada.
Cómo practicarlo jugando
Resuelve la operación asegura la división, que es la mitad del cálculo.
Compara las operaciones y Mayor, menor o igual entrenan estimar si un resultado cae donde debe.
Qué imprimir
La media aritmética trae series de datos, tablas y problemas al revés, con soluciones.
Para la división de debajo, La división en caja. Y para leer datos, Tablas de doble entrada.
Lo esencial
- La media es un reparto imaginario: se junta todo y se da lo mismo a cada uno.
- Siempre está entre el dato menor y el mayor; si no, la cuenta está mal.
- Dividir entre la cantidad de datos, contados antes de sumar.
- Media por cantidad da el total, y con el total se resuelven todos los problemas al revés.
- Un número que resume esconde algo: cuatro con un euro y uno con mil dan media doscientos.
