Media tarta y dos cuartos de tarta dejan exactamente lo mismo en el plato. Lo que ha cambiado no es la cantidad: es en cuántos trozos se cortó antes de servir.
Esa frase es todo el tema, y con las dos figuras del mismo tamaño delante se ve sin que nadie la diga. La regla de multiplicar arriba y abajo viene después y entonces se acepta sin discusión. Comparar cantidades se practica en Encuentra la misma cantidad.
Con dos figuras iguales al lado
La condición es que las dos figuras midan lo mismo. Si una barra es más larga que la otra, la comparación no dice nada y el niño puede acabar creyendo que un medio es más que dos cuartos porque el dibujo era más grande.
Con las dos del mismo tamaño, se pinta la primera, se pinta lo mismo en la segunda y se cuentan los trozos que han salido. La fracción nueva sale de contar, no de calcular.
Ese orden —pintar primero y escribir después— es lo que evita que la equivalencia se convierta en una operación aprendida sin imagen debajo.
La tarta lo explica en diez segundos
Se parte una tarta en dos y se coge un trozo, o se parte en cuatro y se cogen dos. En el plato queda lo mismo, y eso nadie lo discute.
Merece decirlo con comida y no con números, porque con comida el niño ya tiene una intuición firme y solo hay que ponerle nombre.
Y funciona también con una hoja de papel doblada: doblada por la mitad y coloreada media cara, doblada otra vez, la misma mancha ocupa ahora dos cuartos.
La regla se descubre mirando
De 1/2 a 2/4 se ha multiplicado por dos arriba y por dos abajo. De 1/3 a 4/12, por cuatro. Con cuatro casos resueltos delante, la regla la dice el niño.
Darla antes de haber visto ninguno la convierte en un truco que se aplica sin control y que produce cosas como sumar dos arriba y dos abajo.
Preguntar «¿qué le ha pasado al número de arriba? ¿y al de abajo?» es toda la conducción que hace falta.
Por qué hay que multiplicar los dos
Porque el de abajo dice en cuántos trozos se ha partido y el de arriba cuántos se cogen. Si se parte cada trozo en dos, hay el doble de trozos y también se cogen el doble.
Dicho así, multiplicar los dos no es una norma: es lo que pasa cuando se corta cada trozo por la mitad.
Y explica por qué sumar el mismo número arriba y abajo no funciona: partir en dos no es lo mismo que añadir dos trozos.
Simplificar es lo mismo al revés
Si multiplicar arriba y abajo da una fracción equivalente, dividir arriba y abajo también. 6/8 dividido entre dos es 3/4, y es la misma cantidad.
Simplificar cuesta más porque hay que encontrar por qué número dividir, y ahí es donde los divisores se pagan solos.
Un niño que conoce los divisores de 8 y de 6 ve enseguida que el 2 sirve. Uno que no, va probando.
La fracción más sencilla
De todas las equivalentes hay una que no se puede simplificar más, y es la que se da por respuesta. 2/4, 3/6 y 5/10 son todas un medio, y un medio es la forma en que se escriben.
Decirlo pronto evita la sensación de que hay muchas respuestas correctas y ninguna mejor.
Y da un criterio práctico: cuando arriba y abajo no tengan ningún divisor común aparte del uno, ya está.
Para qué sirve de verdad
Para poder sumar fracciones de distinto denominador, que es lo que viene después. Sin equivalencias no hay manera de sumar un medio y un tercio.
Y para comparar: 3/5 y 5/8 no se comparan de un vistazo, pero pasadas a cuarentavos sí.
Decir para qué sirve mientras se aprende cambia bastante la disposición: esto no es un tema, es una herramienta para el siguiente.
Con la regla de un metro
Medio metro, cincuenta centímetros y cinco décimas de metro son la misma marca de la cinta métrica. Verlo en un objeto real ata las fracciones con los decimales.
Y con la regla del estuche: la mitad de un centímetro es cinco milímetros, y ahí está la fracción y el decimal a la vez.
Es de las pocas ocasiones de enseñar que dos temas distintos hablan de lo mismo.
Qué edad
Con figuras y equivalencias sencillas —medios, cuartos, octavos—, desde los nueve.
Con tercios, sextos y doceavos, a los diez.
Simplificando y buscando la más sencilla, a los diez u once.
Antes de esto
Hace falta leer y escribir una fracción mirando un dibujo, y entender que el número de abajo dice el tamaño del trozo.
Y ayuda mucho tener las tablas, porque las equivalencias son multiplicar por dos, por tres y por cuatro.
Sin esas dos cosas, esto se convierte en una regla de manos que se olvida en un mes.
Los errores típicos
Multiplicar solo arriba o solo abajo, que cambia la cantidad.
Sumar el mismo número arriba y abajo en vez de multiplicar.
Y comparar dos fracciones dibujadas en figuras de distinto tamaño, que lleva a conclusiones falsas.
Con papel doblado
Una tira de papel doblada por la mitad, otra vez, y otra: aparecen medios, cuartos y octavos en la misma tira y con las marcas alineadas.
Pintar la mitad y contar cuántos octavos ocupa es la demostración física de la equivalencia, y se hace en cinco minutos.
Esa tira se puede guardar y sacar cada vez que haya dudas durante el curso.
Las que ya se saben
Un medio es dos cuartos, tres sextos y cuatro octavos. Un cuarto es dos octavos y tres doceavos. Tenerlas de memoria ahorra muchísimo trabajo.
No hace falta aprenderlas de carrerilla: salen solas después de hacer veinte, y esas veinte son la hoja.
Reconocer una equivalencia sin calcularla es la señal de que el tema está.
En la cocina
Media taza y dos cuartos de taza, un cuarto de kilo y doscientos cincuenta gramos. Una receta doblada obliga a manejar equivalencias de verdad.
Y hay comprobación: el bizcocho sale o no sale, que es más honesto que cualquier corrección.
Una receta al mes hace más por las fracciones que tres hojas seguidas.
Cuánto por sesión
Seis parejas, quince minutos, pintando antes de escribir.
Y siempre una pregunta al final: ¿cuál de las dos es la más sencilla? Ahí empieza a simplificar sin que se llame así.
Cuando las equivalencias salgan de memoria, se pasa a sumar.
Antes y después de esto
Qué es una fracción y cómo se lee está en las primeras fracciones. Y lo que esto abre, en sumar trozos del mismo tamaño.
Cómo practicarlo jugando
Encuentra la misma cantidad entrena ver que dos cosas distintas valen lo mismo.
Mayor, menor o igual trabaja la comparación y Resuelve la operación las multiplicaciones que hacen falta.
Qué imprimir
Las fracciones equivalentes trae dieciocho parejas de figuras para pintar y escribir, con soluciones.
Para el paso previo, Las fracciones de una figura. Y para comparar, Comparar fracciones.
Lo esencial
- Las dos figuras tienen que medir lo mismo, o la comparación no dice nada.
- Se pinta primero y se escribe después: la fracción nueva sale de contar.
- Se multiplica arriba y abajo porque partir cada trozo en dos da el doble de trozos y se cogen el doble.
- Simplificar es lo mismo al revés, y ahí los divisores se pagan solos.
- La respuesta es la más sencilla: la que ya no se puede dividir más.
