Un desarrollo es lo que queda cuando se abre un cuerpo y se aplana: la caja de galletas desmontada, con sus seis caras pegadas por los bordes. Dicho así se entiende a medias; recortando y montando se entiende del todo.
Y hay una comprobación que ninguna explicación da: al doblar, encaja. Es la misma satisfacción de encajar piezas que hay en Puzle, con la diferencia de que aquí lo plano se convierte en algo con volumen.
Abrir una caja de verdad primero
Antes de recortar ninguna hoja conviene desmontar una caja de cereales por las pestañas y aplanarla. Cuesta dos minutos y explica el concepto entero.
Ahí se ve que las caras siguen unidas por los bordes, que las pestañas sirven para pegar y que la caja es una sola pieza de cartón.
Y se puede volver a montar, que es la mitad del descubrimiento: lo plano y lo tridimensional son dos estados de la misma cosa.
Los dobleces se marcan antes
El error que estropea más montajes no es de recorte: es doblar a pulso. Un cartón doblado sin marcar no cierra, y el niño cree que ha recortado mal.
Se marca pasando la uña o la punta cerrada de unas tijeras a lo largo de una regla, sobre la línea, antes de doblar. Después el doblez sale recto solo.
Con papel fino no hace falta; con cartulina, es imprescindible. Y esa diferencia también merece decirse: el material cambia la técnica.
Contar tocando
Con el cuerpo montado, contar caras, aristas y vértices deja de ser una lista que memorizar. Se cuenta tocando y marcando con el dedo.
El truco para no repetir es marcar cada una con un rotulador según se cuenta, o ir girando el cuerpo siempre en el mismo sentido.
Y entonces se ve por qué el cubo tiene doce aristas: cuatro arriba, cuatro abajo y cuatro verticales. Contarlas por grupos es más fiable que una a una.
Con cuatro o cinco cuerpos contados, se puede hacer una tabla: caras, vértices, aristas. Y mirarla.
Sale una regularidad: caras más vértices es siempre aristas más dos. En el cubo, 6 más 8 son 14, y 12 más 2 también.
Descubrirlo mirando una tabla propia es una experiencia matemática de verdad, y no hace falta decir que se llama fórmula de Euler para que valga la pena.
Cuerpos que no tienen desarrollo plano
La esfera no se puede abrir y aplanar, y eso sorprende. Un balón de fútbol no está hecho de una pieza: está cosido con pentágonos y hexágonos.
De ahí sale una de las mejores conversaciones de geometría de primaria: por qué los mapas del mundo deforman los países.
Un globo terráqueo y un mapa plano puestos al lado enseñan en un minuto que aplanar una esfera obliga a estirar algo.
El mismo cuerpo, varios desarrollos
Un cubo se puede abrir de once maneras distintas y todas dan un cubo. Eso no es evidente y es un descubrimiento estupendo.
Con seis cuadrados de papel y celo se pueden probar combinaciones: unas cierran y otras no. Decidir cuáles antes de montar es un ejercicio de imaginación espacial de los buenos.
Y es la pregunta clásica de examen a los once años: «¿cuál de estos desarrollos forma un cubo?». Un niño que ha montado cinco la contesta sin dudar.
Qué hacer con lo montado
Un cubo de papel es un dado si se le escriben los puntos. Una pirámide es un adorno. Un prisma es un estuche si se le deja una cara abierta.
Darle uso es lo que hace que el trabajo se termine con cuidado: un dado que va a servir para jugar se recorta mejor que uno que va a la carpeta.
Y con varios montados se pueden comparar: cuál rueda, cuál se apila, cuál se aguanta de pie. Esa comparación es la primera clasificación de cuerpos.
Los nombres, sin prisa
Cubo, ortoedro, prisma, pirámide, cilindro, cono, esfera. Siete palabras que conviene dar de una en una y con el cuerpo en la mano.
«Ortoedro» suena rara y se aprende igual de bien que las otras si aparece con una caja de zapatos delante.
Y hay un lío frecuente que conviene deshacer pronto: cuadrado y cubo no son lo mismo. El cuadrado es plano y el cubo tiene volumen, y eso se explica poniendo los dos juntos.
De aquí al área y al volumen
El desarrollo enseña algo que después ahorra un curso entero: la superficie de un cuerpo es la suma de las áreas de sus caras, y eso se ve porque las caras están todas en plano.
Calcular cuánto cartón hace falta para una caja deja de ser una fórmula y pasa a ser sumar seis rectángulos.
Y el volumen viene después con otra idea distinta —cuántos cubitos caben dentro—, y conviene no mezclarla con la superficie mientras se está en esto.
Los errores que dicen algo
Si recorta las pestañas, no puede pegar. Conviene señalarlas antes de empezar y decir para qué son.
Si el cuerpo no cierra, casi siempre es por los dobleces sin marcar, no por el recorte. Se comprueba abriendo y volviendo a doblar con regla.
Y si cuenta mal las aristas, es que las está contando a ojo. Marcar con rotulador según se cuenta resuelve el problema del todo.
A qué edad
A los seis y siete años, montar un cubo grande con pestañas anchas y contar sólo las caras.
A los ocho y nueve, cuatro cuerpos, contar las tres cosas y hacer la tabla. Es la edad de esta ficha.
De diez en adelante, los once desarrollos del cubo, la superficie como suma de caras y la conversación sobre la esfera y los mapas.
Diseñar la caja de algo
El proyecto que cierra el tema es hacer una caja a medida para algo concreto: un regalo pequeño, unas cartas, una piedra que se ha traído del campo.
Hay que medir el objeto, decidir las medidas de las caras, dibujar el desarrollo con pestañas y montarlo. Es geometría aplicada de principio a fin.
Y casi nunca sale a la primera: la primera caja queda pequeña o no cierra, y rehacerla con lo aprendido es la mitad del valor del proyecto.
Antes y después de esto
Los cuerpos que se montan están en los cuerpos que se montan, y los nombres de las figuras planas, en cómo se llama cada figura.
La tabla del cien está en el vecino de abajo es diez más. Y las siete piezas del tangram, en las siete piezas, todas.
Cómo practicarlo jugando
¿Qué figura es? asienta las figuras planas que forman las caras.
Simetría trabaja la relación entre las partes, y Puzle, encajar piezas hasta que cierran.
Qué imprimir
De la caja al desarrollo trae cuatro desarrollos para recortar y montar y la tabla de caras, aristas y vértices.
Los cuerpos geométricos añade más cuerpos, y Las figuras planas trabaja las caras por separado.
Lo esencial
- Un desarrollo es un cuerpo abierto y aplanado, y se entiende montándolo.
- Abrir una caja de cereales de verdad explica el concepto en dos minutos.
- Los dobleces se marcan con la uña y una regla, o el cuerpo no cierra.
- Contar caras, aristas y vértices tocando saca sola la regla de Euler.
- Un cubo se puede abrir de once maneras distintas, y eso es un descubrimiento.
